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Mer 27 Ago 2008 - 10:09 - Oggetto: Voliracicard |
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bourbaki
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Un giorno il nostro Voliraci decise di mettere ordine fra i suoi danari sparsi qua e là nella sua grutta dei scarpellini.
Possedeva mille monete da un 'sordu' da dover inserire in dieci buste.
Lo fece in maniera tale da poter poi ottenere qualsiasi cifra intera da uno a mille sordi prendendo l'intero contenuto di un opportuno numero di buste scelte fra le dieci; di fatto inventò il primo prototipo di voliracicard utile a velocizzare i pagamenti.
Quante monete inserì in ogni singola busta?
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Mer 27 Ago 2008 - 10:33 - Oggetto: Re: Voliracicard |
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Mikel'angelo
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Mer 27 Ago 2008 - 11:06 - Oggetto: Re: Voliracicard |
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Gio 28 Ago 2008 - 12:41 - Oggetto: Re: Voliracicard |
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anto63
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| Mikel'angelo ha scritto: | | 46 |
E i numeri da 1 a 45, per esempio, come li formi?? 
Aggiunto dopo 4 ore 38 minuti:
Propongo una soluzione.
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Adottando una schematizzazione ovvia del problema, esso si riduce al modo di formare tutte le possibili somme da 1 a 1000 usando al massimo dieci addendi il cui totale fa 1000.
Allora, sicuramente uno dei dieci addendi è l’1. Anche il 2 deve farne parte.
Con 1 e 2 formo tutte le cifre da 1 a 1+2=3.
Aggiungendo il 4, ovviamente formo tutte le cifre da 4 a 4+2+1=7. Aggiungendo l’8 formo tutte le cifre da 8 a 8+4+2+1, ecc.
Allora una sequenza giusta sarebbe quella delle potenze di 2:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.
La somma di totale sarebbe 1023 (10^10-1). Ma dato che ci accontentiamo dei numeri fino a 1000, nella sequenza il numero finale deve essere 512-23= 489.
Risultato:
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 489.
Passo successivo è dimostrare che la sequenza è unica.
Notiamo dal procedimento che ogni cifra della sequenza è stata aggiunta per l'impossibilità di formarla con la somma delle cifre precedenti.
Quindi, se una qualsiasi delle cifre mancasse non sarebbe possibile formarla in alcun modo con una somma delle altre minori e tanto meno con cifre di valore più alto. CVD.
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Ven 29 Ago 2008 - 11:18 - Oggetto: Re: Voliracicard |
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bourbaki
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Ottimo anto,
il voliraci per le prime nove buste ha usato le potenze di 2, ossia la numerazione in base due con i simboli 1 'apro la busta', 0 'non apro la busta'.
Nella decima ha inserito i rimanenti 489 sordi.
In questa maniera le cifre da 1 a 511 le ottiene appunto con la base 2 delle prime nove buste, quelle da 512 a 1000 le ottiene con quella da 489 + 13, ..., 489 + 511.
Da notare che le cifre da 489 a 511 si possono ottenere sia in base 2, sia con 489 + 0, 489 + 1, ..., 489 + 12.
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