[anto63]

La "battaglia" tetraedro vs parallelepipedo ha ben poco altro da dire.
Sul post del tetrapack si è discusso sul perché invece di forme semplici (il parallelepipedo) in passato andasse di moda una forma più astrusa (il tetraedro) come contenitore del latte.

Mi è venuto in mente un altro simil-intelligioco. Il duello che propongo è ora tra "coniche".

I ricevitori satellitari, come sappiamo, hanno bisogno di "antenne paraboliche". Cioè sono delle sezioni di "paraboloidi", hanno dei profili "parabolici".
Somigliano a delle sezioni di "sfera", il profilo sembra vagamente "circolare", ma no. Qualche matto è andato a scovare la forma un po' astrusa della "parabola".

Come mai? E, per andare più sul generale, perché l'antenna, se non "sferica" non è "ellittica", o "iperbolica"? Perché proprio parabolica?

La spiegazione può essere qualitativa, ma l'intelligioco si considererà risolto se corredato da una piccola dimostrazione matematica

Ciao

P.S. Parabola= luogo dei punti del piano equidistanti da una retta fissa, detta "direttrice" e da un punto fisso detto "fuoco".

[Fragolino]

si usa una parabola perché riesce a convogliare un flusso pressoché parallelo (facciamo questa generalizzazione, se prendiamo il segnale inviato da un satellite distante centinaia di km nello spazio, verso la Terra), ma ad ampia portata e quindi poca potenza da captare dal "coso" (non so come si chiama) che intercetta questo segnale e lo invia al decoder... la parabola "prende" fasci paralleli e li reindirizza in unico punto (il fuoco), che è proprio il punto dove si va a mettere il "coso" di cui sopra... urge disegno mi sa...

Aggiunto dopo 6 minuti:

trovato, senza doverlo disegnare a mano... in un'immagine si vede il flusso di segnale "pressoché parallelo" di cui parlavo, che viene focalizzato proprio dalla parabola nel punto detto fuoco... in quel punto si pone il "coso" che si vede nell'immagine della parabola satellitare... che quindi intercetterà molto più segnale concentrato in un punto, rispetto a quanto ne beccherebbe se esposto direttamente verso il satellite con la sua piccola superfice...

Aggiunto dopo 5 minuti:

all'aumentare della convessità della parabola, il fuoco viene spostato in avanti... in alcuni casi, così avanti da poter essere usato a distanza per provocare effettivamente il "fuoco", inteso come fiamma... il funzionamento degli specchi ustori di Archimede...

[bourbaki]

P.S. Non tutto è stato detto sul tetrapack, perfette le soluzioni ma non è stato ancora detto quali sia il rapporto tra diametro e altezza del cilindro.

P.P.S. Immagginiamo dell'allegato è immaginiamo, però su ciuciu e le doppie g le sbaglio!

[anto63]

Bravi. La soluzione "qualitativa" è giusta.

Aspetto la dimostrazioncina matematica...

[Jedi]

Cosa si deve dimostrare?

[anto63]

[bourbaki]

D’accordo sul banale, ma il calcolo è alquanto noioso.
E vambè! tanto io sono abituato ad esserlo.

Quanto una parabola di equazione y = ax^2 + bx + c è “aperta” dipende dal solo parametro a, b e c la traslano nel piano, possiamo quindi restringere il campo alle sole y = ax^2 senza perdere di generalità.
Prolungando il raggio R del disegno postato nel mio allegato sopra, questo incontrerà la direttrice nel punto H.

Detta p l’ascissa di P, con le semplici proprietà della parabola otteniamo le coordinate dei punti:
P(p ; ap^2), F(0 ; 1/4a), H(p ; -1/4a).

La tangente al grafico di una funzione in un suo punto di ascissa p, ha coefficiente angolare pari alla derivata della funzione calcolata in p.

Y’ = 2ax, in p m = 2ap, da cui la retta tangente t in P avrà equazione y – ap^2 = 2ap(x – p)

La normale n in P avrà coefficiente angolare inverso ed opposto m’ = -1/2ap ed equazione:
y – ap^2 = (-1/2ap)(x – p).

Per trovare le bisettrici tra la retta per PF e la R, necessitiamo delle loro equazioni.
R : x – p = 0;
Retta per PF : (4a^2p^2 – 1)x – 4apy + p = 0

Le bisettrici fra due rette sono il luogo geometrico dei punti equidistanti da esse, applicando la formula di distanza punto retta ed eguagliando otteniamo:
|(4a^2p^2 -1)x -4apy + p| / (sqrt(((4a^2p^2 – 1)^2 – 1)^2 + 16a^2p^2)) = |x – p|Togliendo i moduli ed esplicitando si ottengono le stesse equazioni di tangente e normale.